Mathe Blog

Quelle: http://www.zeno.org
Zenodot Verlagsgesellschaft mbH

Gerade bin ich zufällig in einem Artikel über Folgen und Reihen auf das “Paradoxon von Zenon” gestoßen. Das Paradoxon von Zenon erzählt von Achilles und einer Schildkröte, die ein Wettrennen machen. Da Achilles natürlich viel schneller ist, gibt er der Schildkröte einen Vorsprung. Das Paradoxon stellte Zenon von Elea auf, der meinte, dass Achilles die Schildkröte niemals einholen würde. Wenn nämlich Achilles den Startpunkt der Schildkröte erreicht, dann ist die Schildkröte in dieser Zeit auch vorangekommen. Erreicht nun Achilles den zurückgelegten Weg der Schildkröte, hat sich die Schildkröte in dieser Zeit wieder weiter bewegt. Und so geht das Spiel weiter, immer wenn Achilles den letzten Punkt der Schildkröte erreicht hat, hat diese sich von dort wieder weiterbewegt.

Klar ist aber, dass ein Schnellerer einen Langsameren immer einholt, sofern er genügend Zeit hat.

Laut der Wikipedia beruht Zenons Trugschluss auf zwei Fehlern:

1. Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann..
2. Der Weg – vor dem Einholpunkt -, den Achilles zurückgelegt hat, kann beliebig oft – potenziell unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft durchgeführt werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen.

Eine schön ausführliche mathematische Herleitung findet man beispielsweise unter http://www.matheplanet.com