Determinante
Die Determinante ist eine Funktion, deren Wert Aufschluss über bestimmte Eigenschaften eines linearen Gleichungssystem gibt. Konkret wird mit der Determinante einer quadratischen Matrix einen Skalar zuordnet. Die Determinanten gibt nun beispielsweise Auskunft darüber, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Das ist dann der Fall, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Dementsprechend ergibt sich auch aus der Determinante ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht. Nämlich auch wieder dann, wenn die Determinante ungleich null ist.
Die Determinante kann man mit unterschiedlichen Verfahren berechnen. Darüber hinaus spielt auch die Größe der Matrix für die die Determinante bestimmt werden soll, eine wichtige Rolle. Für kleine Matrizen, genauer gesagt für Matrizen bis zur Größe 3*3 gelten beispielsweise Spezialregeln, mit denen das berechnen der Determinante meist leicht und schnell von der Hand geht. Folgende drei Regeln kann man für die Determinanten-Bestimmung bei Matrizen bis zur Größe 3*3 anwenden:
Determinantenberechnung bei einer 1x1-Matrix
Bei einer 1x1 Matrix muss nichts weiter gerechnet werden, die Determinante ist einfach das einzige Element.
Determinantenberechnung bei einer 2x2-Matrix
Für die Bestimmung der Determinante in einer 2x2 Matrix müssen einfach die zwei Produkte der zwei Diagonalelemente voneinander abgezogen werden. Nachfolgendes Bild zeigt dies noch einmal deutlicher:
Determinantenberechnung bei einer 3x3-Matrix
Das ähnliche Berechnungskonzept wie bei einer 2x2-Matrix ergibt sich nun auch für die Bestimmung der Determinante einer 3x3 Matrix. Hier muss man nun beachten, dass man nicht nur eine Diagonale, sondern gleich drei Diagonale berechnen muss und von diesen drei Diagonalen wieder drei Diagonale abziehen. Das ergibt folgende Gleichung:
Muss man nun die Determinante einer 3x3 Matrix von Hand ausrechnen, dann wäre es kompliziert, sich dieses Formel zu merken. Viel einfacher geht es, wenn man die Regel von Sarrus anwendet. Bei diesem einfachen Schema schreibt man die ersten beiden Spalten der Matrix rechts neben die Matrix und bildet Produkte von je 3 Zahlen, die durch die schrägen Linien verbunden sind. Dann werden die nach unten verlaufenden Produkte addiert und davon die nach oben verlaufenden Produkte subtrahiert:
Damit ergibt sich dann die nachfolgende Formel für die Berechnung der Determinante: det(A) = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb. Hat man die Matrix also einmal entsprechend erweitert, kann man die Determinante leicht berechnen, in dem man die Zahlen einfach abliesst und entsprechend laut Formel verrechnet. Wenn man dies einmal oder zweimal macht, prägt sich das Verfahren schnell ein.
Determinantenberechnung bei größere Matrizen wie 3x3
Die Berechnung der Determinante bei Matrizen die Größer sind als 3x3 gibt es weitere bestimmte Verfahren, die meist allerdings aufwendiger sind. Eigentlich immer bietet sich das Gaußsches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung an. Allerdings sind hier bestimmte Regeln einzuhalten. Vertauscht man beispielsweise während dem Verfahren zwei Spalten oder Zeilen miteinander, dann muss man die Determinante später mit -1 multiplizieren.
Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung der Determinante stellt der Laplacescher Entwicklungssatz dar. Dabei wird die Determinante bei jeder Anwendung um eine Dimension reduziert