Konvergenzkriterien
In der Analysis können mit Konvergenzkriterien, die Konvergenz einer unendlichen Reihe bewiesen werden. Darüber hinaus können mit bestimmten Kriterien auch die Divergenz einer Reihe bewiesen werden. Es gibt verschiedene Konvergenzkriterien, die man je nach Aufgabenstellung einsetzten kann. Auf dieser Seiten findet man folgende Konvergenzkriterien erklärt:- Grenzwertkriterium
- Leibnitz-Kriterium
- Cauchy-Kriterium
- Majorantenkriterium
- Minorantenkriterium
- Wurzelkriterium
- Quotientenkriterium
Nachfolgend nun einige Konvergenzkriterien im Detail:
Grenzwertkriterium für Reihen
Seien ak und bk Folgen von positiven Zahlen. Gilt dann zusäzlich = c ∈ (0, ∞), so sind die beiden Reihen ak und bk entweder beide konvergent oder beide divergent.
Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen
Ist ak (k∈) eine monoton fallende Folge (ak ≥ ak+1) mit ak ≥ 0 und ak = 0, dann konvergiert die Reihe (-1)k ak
Cauchy-Kriterium
Das Konvergenzkriterium nach Cauchy besagt, dass eine Reihe ak genau dann konvergent ist, wenn gilt:
∀ ε > 0: ∃N ∈ : ∀ n ≥ m ≥ N:
|| < ε