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Konvergenzkriterien

In der Analysis können mit Konvergenzkriterien, die Konvergenz einer unendlichen Reihe bewiesen werden. Darüber hinaus können mit bestimmten Kriterien auch die Divergenz einer Reihe bewiesen werden. Es gibt verschiedene Konvergenzkriterien, die man je nach Aufgabenstellung einsetzten kann. Auf dieser Seiten findet man folgende Konvergenzkriterien erklärt: Neben diesen Kriterien gibt es weitere Konvergenzkriterien, die an dieser Stelle aber nicht weiter behandelt werden. Generell ermöglichen die Kriterien unterschiedliche Aussagen. So erlauben manche den Schluss auf Konvergenz, andere auf Divergenz, manche auf absolute Konvergenz, andere wiederum nur auf Konvergenz. Möchte man also beispielsweise zeigen, dass eine Folge divergiert, dann scheiden schon einige Kriterien für den Einsatz aus.

Nachfolgend nun einige Konvergenzkriterien im Detail:

Grenzwertkriterium für Reihen

Seien ak und bk Folgen von positiven Zahlen. Gilt dann zusäzlich = c ∈ (0, ∞), so sind die beiden Reihen ak und bk entweder beide konvergent oder beide divergent.


Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen

Ist ak (k∈Natürliche Zahlen) eine monoton fallende Folge (ak ≥ ak+1) mit ak ≥ 0 und Leibnitz Kriterium ak = 0, dann konvergiert die Reihe (-1)k ak


Cauchy-Kriterium

Das Konvergenzkriterium nach Cauchy besagt, dass eine Reihe ak genau dann konvergent ist, wenn gilt:

∀ ε > 0: ∃N ∈ Natürliche Zahlen: ∀ n ≥ m ≥ N:
   |Cauchy-Konvergenzkriterium| < ε