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Obere und Untere Schranke / Supremum und Infimum


Wenn man wissen möchte ob eine Menge nach oben und unten beschränkt ist, muss man nachweisen, dass es eine obere bzw. untere Schranke gibt. In diesem Zusammenhang kann man dann auch gleich prüfen ob es ein Infimum und Minimum und ein Supremum und Maximum gibt. Dazu aber später mehr.

Erst einmal die Definition der oberen und unteren Schranke. Gegeben sei M als eine Teilmenge von R:

Dann ist eine Zahl x ∈ R eine obere Schranke von M, wenn gilt ∀ v ∈ M: v ≤ x

Dann ist eine Zahl x ∈ R eine untere Schranke von M, wenn gilt ∀ v ∈ M: v ≥ x

Existiert eine obere Schranke, dann ist die Menge nach oben beschränkt. Existiert analog dazu eine untere Schranke, dann ist die Menge nach unten beschränkt.

Im Zusammenhang mit beschränkten Mengen fallen auch oft die Begriffe Supremum und Infimum. Konkret versteht man unter einem Supremum von M eine Zahl s ∈ R, falls s eine obere Schranke von M ist und darüberhinaus für jede beliebige weitere obere Schranke x von M die Beziehung gilt: v ≤ x. Damit ist ein Supremum in Worten nichts anderes als die kleinste obere Schranke von M. Das Supremum bezeichnet man mit sup M

Analog gilt nun für den Begriff Infimum, dass ein Infimum nichts anderes ist , als die größte untere Schranke. Das Infimum bezeichnet man mit inf M.

Somit gilt, dass jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge M ⊂ R ein Supremum besitzt und dementsprechend jede nichtleere, nach unten beschränkte Menge M ⊂ R ein Infimum besitzt.

Beispiele für obere/untere Schranke und Supremum/Infimum

Nachfolgend einige Beispiele für das bessere Verständnis von oberen und unteren Schranken sowie dem Supremum und Infimum:

Beispiel 1

Gegeben sei die Menge M=[0,1[
dann wäre jede Zahl x ≥ 1 eine obere Schranke von M und jede Zahl y ≤ 0 eine untere Schranke. An den Gleichheitszeichen kann man nun leicht die größte untere Schranke, also das Infimum, und die kleinste obere Schranke, also das Supremum, bestimmen. Das Infimum wäre: inf(M)=0, während das Supremum: sup(M)=1 wäre. In diesem Beispiel wäre zudem das Minimum: min(M)=0, da das Infimum Element der Menge M ist. Anders sieht es mit dem Maximum aus. In diesem Fall gibt es nämlich kein Maximum, da das Supremum nicht Element der Menge M ist.

Beispiel 2

Gegeben sei die Menge M={-5,-1,3,8}
Dies ist ebenfalls ein sehr leichtes beispiel, hier kann man Infimum, Supremum, Minimum und Maximum einfach ablesen. inf(M)=-5 -> min(M)=-5 und sup(M)=8 -> max(M)=8