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Taylorpolynom/Taylorreihe

Das Taylorpolynom leitet sich aus dem Satz von Taylor, bzw. der Taylor-Formel ab. Mit der Taylor-Formel können Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch eben jenes Taylorpolynom angenähert werden.

Das Taylorpolynom n-ten Grades zum Entwicklungspunkt a ist dabei folgendermaßen definiert:

Taylorpolynom nten Grades

sowie das n-te Restglied:
Restglied des Taylorpolynoms

Beispiel zum Taylorpolynom

Im nachfolgenden Beispiel soll für die Funktion f(x) = sin(πx) das Taylorpolynom dritten Grades mit Entwicklungspunkt a=1 bestimmt werden.

Konkret bedeutet das also erst einmal, dass man die Funktion 3x Ableiten muss:

  1. Ableitung: f'(x)= πcos(πx) ⇒ f'(1)=πcos(π*1)= -π
  2. Ableitung: f''(x)= -π2sin(πx) ⇒ f''(1)= -π2sin(π * 1)= 0
  3. Ableitung: f'''(x)= -π3cos(πx) ⇒ f'''(1)= -π3cos(π*1)= π3
Nun noch f(a) ausrechnen: f(1)= sin(π*1)=0
Anschließend kann man alles in die obere Taylorpolynom-Formel einsetzen:
Taylorpolynom Beispiel